Moment

Moment (Kemiringan dan Kurtosis)

Kemiringan / Kemencengan (Skewness)Suatu data jika disajikan dalam bentuk kurva halus mungkin berbentuk kurva yang menceng ke kanan, atau menceng ke kiri atau membentuk kurvanormal. Pada kurva yang tak simetris menceng ke kanan, jika bagianekornya memanjang ke kanan, biasa disebut juga model kurva positif,sebalik kurva yang tak simteris menceng ke kiri, jika bagian ekornyamemanjang ke kiri, biasa disebut kurva negative. Sedangkan yang simetriskurva normal, jika kondisi kanan dan kiri seimbang.Kemencengan ke kanan.Kemencengan ke kiri.Kurva normal.

Derajat ketaksimetrisan suatu model kurva dapat dilihat berdasarkan ukurankemiringan yang ditentukan dengan rumus koefisien kemiringan Pearsonsebagai berikut :

                      Rerata-modus    =      3 (Rerata-median)

Kemiringan=

                     Standar Deviasi           StandarDeviasi

 Jika hasil perhitungan kemiringan negative berarti model kurva data tak simetris miring ke kiri, demikian sebaliknya jika hasil perhitungankemiringan positif berarti model kurva data tak simetris miring ke kanan,sedangkan pada hasil perhitungan kemiringan nol atau mendekati nol, beratimodel kurva data simetris atau membentuk kurva normal

Contoh :

TABEL DISTRIBUSI FREKUENSI TINGGI BADAN

MASYARAKAT KALIMAS TAHUN 2006

NO.           TINGGI BADAN               JUMLAH

1.                140 – 149                        6

2.                150 – 159                      22

3.                 160 – 169                      39

4.                170 – 179                       25

5.                180 – 189                         7

6.                190 – 199                         1

JUMLAH                       100

Hasil perhitungan berdasarkan data tabel di atas nilai mean = 165,30,standar deviasi = 10,36, median = 165,14 dan modus = 164,98. Maka nilai kemiringan

                          165,30-164,98    =    3(165,30-165,14)

Kemiringan=

                                10,36                               10,36

Kemiringan=0,03  =0,05

Hasil perhitungan positif dan mendekati nol, berarti model kurva datamiring ke kanan sedikit mendekati simetris kurva normal.

. Nilai Kurtosis

Kurtosis diartikan sebagai keruncingan distribusi data. Semakin runcing nilai kurtosis akan menunjukkan data hampir mengumpul (homogen). Akan tetapi apabila nilai kurtosis 0 menunjukkan data normal, dan apabila nilai kurtosis semakin kecil, maka menunjukkan data semakin tumpul (semakin menyebar dikatakan data tidak homogen).

Jika nilai kurtosis dekat nol maka data cenderung normal, apabila nilai kurtosis negative berarti datanya tumpul atau cenderung melebar ke bawah,sebaliknya apabila nilai kurtosis positif maka datanya bersifat runcing atau cenderung mengelompok (homogen).

Sebagai contoh misalnya, Jika diketahui nilai ku = 1,06. Maka nilai kurtosis positif yang lebih besar dari nol dan cukup jauh dari nol. Oleh karena itu,dikatakan datanya cenderung runcing atau dengan kata lain cenderung homogen.

DAFTAR PUSTAKA

Bambang Kustituanto dan Rudy Badrudin, Statistika I, Seri Diktat Kuliah,

Penerbit Gunadarma, Jakarta, 1994

 Haryono Subiyakto, Statistika 2, Seri Diktat Kuliah, Penerbit Gunadarma,

Jakarta, 1994 

Ronald E Walpole, Pengantar Statistika, edisi terjemahan, PT Gramedia

Jakarta, 1992

Pengukuran Penyimpangan

PENGUKURAN PENYIMPANGAN

Pengukuran penyimpangan adalah suatu ukuran yang menunjukkan tinggi  rendahnya perbedaan data yang diperoleh dari rata-ratanya. Ukuran penyimpangan digunakan untuk mengetahui luas penyimpangan data atau homogenitas data. Dua variabel data yang memiliki mean sama belum tentu memiliki kualitas yang sama, tergantung dari besar atau kecil ukuran penyebaran datanya. Ada bebarapa macam ukuran penyebaran data, namun yang umum digunakan adalah standar deviasi.

Macam-macam ukuran penyimpangan data adalah :

Jangkauan (range)

Simpangan rata-rata (mean deviation)

Simpangan baku (standard deviation)

Varians (variance)

Koefisien variasi (Coefficient of variation)

1. Jangkauan (range)

Range adalah salah satu ukuran statistik yang menunjukan jarak penyebaran data antara nilai terendah (Xmin) dengan nilai tertinggi (Xmax). Ukuran ini sudah digunakan pada pembahasan daftar distribusi frekuensi. Adapun rumusnya adalah

Contoh : 

Berikut ini nilai ujian semester dari 3 mahasiswa
A = 60 55 70 65 50 80 40
B = 50 55 60 65 70 65 55
C = 60 60 60 60 60 60 60

Dari data diatas dapat diketahui bahwa
A = memiliki Xmax=80, Xmin= 40 , R = 40 , meanya 60
B = memiliki Xmax=70, Xmin= 50 , R = 20 , meanya 60
C = memiliki Xmax=60, Xmin= 60 , R = 0 , meanya 60

Dari contoh di atas dapat disimpulkan bahwa :
a. Semakin kecil rangenya maka semakin homogen distribusinya
b. Semakin besar rangenya maka semakin heterogen distribusinya
c. Semakin kecil rangenya, maka meannya merupakan wakil yang representatif
d. Semakin besar rangenya maka meannya semakin kurang representatif

2. Simpangan Rata-rata (mean deviation)

Simpangan rata-rata merupakan penyimpangan nilai-nilai individu dari nilai rata-ratanya. Rata-rata bisa berupa mean atau median. Untuk data mentah simpangan rata-rata dari median cukup kecil sehingga simpangan ini dianggap paling sesuai untuk data mentah. Namun pada umumnya, simpangan rata-rata yang dihitung dari mean yang sering digunakan untuk nilai simpangan rata-rata.

Data tunggal dengan seluruh skornya berfrekuensi satu

dimana xi merupakan nilai data

Data tunggal sebagian atau seluluh skornya berfrekuensi lebih dari satu

dimana xi merupakan nilai data

Data kelompok ( dalam distribusi frekuensi)

dimana xi merupakan tanda kelas dari interval ke-i dan fi merupakan frekuensi interval ke-i

Contoh :

Dari tabel diperoleh 

3. Simpangan Baku (standard deviation)

Standar deviasi merupakan ukuran penyebaran yang paling banyak digunakan. Semua gugus data dipertimbangkan sehingga lebih stabil dibandingkan dengan ukuran lainnya. Namun, apabila dalam gugus data tersebut terdapat nilai ekstrem, standar deviasi menjadi tidak sensitif lagi, sama halnya seperti mean.

Standar Deviasi memiliki beberapa karakteristik khusus lainnya. SD tidak berubah apabila setiap unsur pada gugus datanya di tambahkan atau dikurangkan dengan nilai konstan tertentu. SD berubah apabila setiap unsur pada gugus datanya dikali/dibagi dengan nilai konstan tertentu. Bila dikalikan dengan nilai konstan, standar deviasi yang dihasilkan akan setara dengan hasilkali dari nilai standar deviasi aktual dengan konstan.

Rumus Simpangan Baku untuk Data Tunggal

untuk data sample menggunakan rumus

untuk data populasi menggunkan rumus

Contoh :
Selama 10 kali ulangan semester ini sobat mendapat nilai 91, 79, 86, 80, 75, 100, 87, 93, 90,dan 88. Berapa simpangan baku dari nilai ulangan sobat?

Jawab
Soal di atas menanyakan simpangan baku dari data populasi jadi menggunakan rumus simpangan baku untuk populasi.
Kita cari dulu rata-ratanya
rata-rata = (91+79+86+80+75+100+87+93+90+88)/10 = 869/10 = 85,9

Kita masukkan ke rumus

Rumus Simpangan Baku Untuk Data Kelompok

untuk sample menggunakan rumus

untuk populasi menggunakan rumus

Contoh :
Diketahui data tinggi badan 50 siswa samapta kelas c adalah sebagai berikut

hitunglah berapa simpangan bakunya

1. Kita cari dulu rata-rata data kelompok tersebut

2. Setelah ketemu rata-rata dari data kelompok tersebut kita bikin tabel untuk memasukkannya ke rumus simpangan baku

4. Varians (variance)

Varians adalah salah satu ukuran dispersi atau ukuran variasi.  Varians dapat menggambarkan bagaimana berpencarnya suatu data kuantitatif.  Varians diberi simbol  σ² (baca: sigma kuadrat) untuk populasi dan untuk s² sampel.

Selanjutnya kita akan menggunakan simbol s²  untuk varians karena umumnya kita hampir selalu berkutat dengan sampel dan jarang sekali berkecimpung dengan populasi.

Rumus varian atau ragam data tunggal untuk populasi

Rumus varian atau ragam data tunggal untuk sampel

Rumus varian atau ragam data kelompok untuk populasi

Rumus varian atau ragam data kelompok untuk sampel

Keterangan:
σ² = varians atau ragam untuk populasi
S² = varians atau ragam untuk sampel
f_i = Frekuensi
x_i = Titik tengah
x¯ = Rata-rata (mean) sampel dan   μ = rata-rata populasi
n =  Jumlah data

5. Koefisien variasi (Coefficient of variation)

Koefisien variasi merupakan suatu ukuran variansi yang dapat digunakan untuk membandingkan suatu distribusi data yang mempunyai satuan yang berbeda. Kalau kita membandingkan berbagai variansi atau dua variabel yang mempunyai satuan yang berbeda maka tidak dapat dilakukan dengan menghitung ukuran penyebaran yang sifatnya absolut.

Koefisien variasi adalah suatu perbandingan antara simpangan baku dengan nilai rata-rata dan dinyatakan dengan persentase.

Besarnya koefisien variasi akan berpengaruh terhadap kualitas sebaran data. Jadi jika koefisien variasi semakin kecil maka datanya semakin homogen dan jika koefisien korelasi semakin besar maka datanya semakin heterogen.

Daftas Pustaka :

Suharyadi, & Purwanto. (2009). In Statistika untuk Ekonomi dan Keuangan Modern. Jakarta: Salemba Empat.

Sudjana. (1991). In Statistika. Bandung: Tarsito.

http://www.smartstat.info/statistika/statisika-deskriptif/ukuran-penyebaran-measures-of-dispersion.html

http://rumushitung.com/2013/04/05/rumus-simpangan-baku/

http://digensia.wordpress.com/2012/03/15/statistik-deskriptif/

http://okemath.com/?page_id=394

Ukuran Pemusatan

Agar penyajian kumpulan data lebih mudah dipahami,statistika menyediakan metode penyusunan data dalam bentuk distribusi frekuensi,tapi distribusi frekuensi yang terbentuk masih mengandung banyak elemen. Padahal informasi yang kita dapatkan dari data akan lebih mudah dipahami agar dapat diwakili oleh satu nilai saja. Dalam statistika dikenal beberapa macam ukuran nilai pusat. Yang paling banyak digunakan adalah rata-rata hitung (Arithmatic mean),Median,Modus,Rata-rata tertimbang,rata-rata ukur,dan lain-lain.

a.         Pengertian Mean

Menurut Sudijono, Anas (2008:79), secara singkat pengertian tentang Mean dapat dikemukakan sebagai berikut: Mean dari sekelompok (sederetan) angka (bilangan) adalah jumlah dari keseluruhan angka (bilangan) yang ada, dibagi dengan kebanyakan angka (bilangan) tersebut. 

Untuk lebih jelasnya dapat dikemukakan contoh sebagai berikut: Misalnya seorang Siswa Madrasah Aliyah memiliki nilai hasil ulangan dalam bidang studi Matematika, Pendidikan Kewarganegaraan, Bahasa Indonesia, Bahasa Inggris, Ilmu Pengetahuan Sosial dan Ilmu Pengetahuan Alam berturut-turut: 8, 9, 7, 4, 6, dan 5. Untuk memperolah Mean nilai hasil ulangan tersebut, keenam butir nilai yang ada itu kita jumlahkan, lalun kita bagi dengan banyaknya nilai tersebut, yaitu: (8 + 9 + 7 + 4 + 6 + 5) : 6 atau

    = 6,50

Jika keenam bilangan tersebut kita lambangkan dengan , , , ,  dan , sedangkan banyaknya nilai itu kita lambangkan dengan N, maka Mean dari keenam butir nilai tersebut adalah :

 =

Apabila kita rumuskansecara umum, maka:

 =

Atau dapat disingkat menjadi:

 =

Inilah rumus umum atau rumus dasar untuk mencari atau menghitung Mean. Sudijono, Anas (2008:76).

a.            Pengertian Nilai Rata-rata Pertengahan (Median)

Menurut Sudijono, Anas (2008:93), yang dimaksud dengan Nilai Rata-rata Pertengahan atau Median adalah suatu nilai atau suatu angka yang membagi suatu distribusi data ke dalam dua bagian yang sama besar. Dengan kata lain, Nilai Rata-rata Pertengahan atau Median adalah nilai atau angka yang di atas nilai atau angka tersebut terdapat 1/2N dan dibawahnya juga terdapat 1/2N. Itulah sebabnya Nilai Rata-rata ini dikenal sebagai Nilai Pertengahan atau Nilai Posisi Tengah, yaitu nilai yang menunjukkan pertengahan dari suatu distribusi data.

Disini pun kita berhadapan dengan dua kemungkinan, yaitu: (1) data tunggal yang seluruh skornya berfrekuensi 1, number of cases-nya merupakan bilangan gasal (ganjil), dan (2) data tunggal yang seluruh skornya berfrekuensi itu, number of cases-nya merupakan bilangan genap ( bukan bilangan gasal).

(i)   Mencari nilai rata-rata pertengahan untuk data tunggal yang seluruh skornya berfrekuensi 1 dan number of caess-nya berupa bilangan gasal.

Untuk data tunggal yang seluruh skornya berfrekuensi 1 dan number of cases-nya bilangan gasal (yaitu: M = 2m + 1 ), maka median data yang demikian itu terletak pada bilngan yang ke (n+1).

contoh : 9 orang mahasiswa menempuh ujian lisan dala mata kuliah teknik evaluasi pendidikan. Niali mereka adalah sebagai berikut: 65 75 60 70 55 50 80 40 30. Untuk mengetahui nilai berapakah yang merupakan Nilai Rata-rata Pertengahan atau Median dari kumpulan nilai hasil ujian tersebut, pertama-tama deretan itu kita atur mulai dari nilai terendah sampai nilai tertinggi:

30 40 50 55 60 65 70 75 80

kita lihat dalam deretan nilai di atas, bilangan ke-1 adalah 30, bilangan ke-2 = 40, bilangan ke-3 = 50, bilangan ke-4 = 55, bilangan ke-5 = 60, bilangan ke-6 = 65, bilangan ke-7 = 70, bilangan ke-8 = 75 dan bilangan ke-9 = 80. Karena N = 9, sedang rumus bilangan gasal adalah: N = 2n +1, maka 9 = 2n + 1

9 = 2n + 1

9 – 1 = 2n

n = 4

dengan demikian nilai yang merupakan nilai rata-rata pertengahan atau median dari nilai hasil ujian lisan tersebut adalah nilai ( bilangan) yang ke- ( 4 + 1 ) atau bilangan ke-5, yaitu nilai 60

(i)                 Mencari Nilai Rata-rata Pertengahan untuk Data Tunggal yang seluruh skor-nya berfrekuensi 1, dan Number of Cases-nya berupa bilangan genap

Untuk data tunggal dan seluruh skornya berfrekuensi 1 dan Number of Cases-nya merupakan bilangan genap (yaitu: N=2n), maka Median atau Nilai Rata-rata Pertengahan data yang demikian itu terletak antara bilangan yang ke-n dan ke-(n+1).

Contoh : tinggi badan 10 orang calon yang mengikuti tes seleksi penerimaan calon penerbang, menunjukkan angka sebagai berikut: 168 162 169 170 164 167 161 166 163 dan 165 cm.

cara mencari Nilai Rata-rata Pertengahan atau Mediannya sama seperti telah dikemukakan di atas, yaitu pertama-tama deretan angka itu terlebih dahulu kita atur berderet, mulai dari nilai terendah sampai nilai tertinggi.

Karena N = 10 (merupakan bilangan bulat), sedang rumus untuk bilangan bulat adalah : N = 2n, maka : 10 = 2n , n = 5

Jadi Median atau Nilai Rata-rata Pertengahan dari tinggi badan 10 orang peserta tes seleksi Calon Penerbang itu terletak antara bilangan ke-5 dann ke (5+1), atau antara bilaangan ke-5 dan ke-6. Dalam deretan angka-angka di atas, bilangan ke-5 adalah 165, sedang bilangan ke-6 adalah 166.

Jadi Mdn =  = 165,50

.  Modus (Mode)

a. Pengertian Modus

Menurut Sudijono, Anas (2008:105), modus umunya dilambangkan dengan Mo. Modus tidak lain adalah suatu skor atau nilai yang mempunyai frekuensi paling banyak; dengan kata lain, skor atau nilai yang memiliki frekuensi maksimal dalam distribusi data.

b.  Cara Mencari Modus

1) Cara Mencari Modus untuk Data Tunggal

Mencari modus untuk data tunggal dapat dilakukan dengan mudah dan cepat; yaitu hanya dengan memeriksa (mencari) mana di antara skor yang ada, yang memiliki frekuensi terbanyak. Skor atau nilai yang memiliki frekuensi terbanyak itulah yang kita sebut Modus.

Contoh:  Misalkan data tentang data 50 orang Guru Matematika yang tercantum pada tabel 3.7 dapat kita cari Modusnya sebagai berikut:

Tabel3.9. Tabel Distribusi Frekuensi untuk Mencari Modus dari Data yang Tertera Pada Tabel 3.7.

Usia (x)	f
31 30 29 28 Mo (27) 26 25 24 23	4 4 5 7 (12)= f maksimal 8 5 3 2
Total	50=N

Modus untuk data di atas adalah usia 27 tahun. Mengapa demikian? Sebab dari sejumlah 50 orang Guru Matematika tersebut, yang paling banyak adalah berusia 27 tahun.

. Kuartil, Desil, Persentil

            Jika sekumpulan data dibagi menjadi empat bagian yang sama banyak, sesudah disusun menurut urutan nilainya , maka bilangan membaginya disebut kuartil. Ada tiga buah kuartil, ialah kuartil pertama, kuartil kedua, kuartil ketiga yang masing-masing disingkat Q₁ , Q₂, dan Q₃ . pemberian nama ini, dimulai dari nilai kuartil paling kecil. Untuk menentukan nilai kuartil caranya adalah :

1.      Susun data menurut urutannya

2.      Tentukan letak kuartil

3.      Menentukan nilai kuartil

Letak kuartil ke-i diberi lambing K₁ , ditentukan oleh rumus :

Letak K_i= data ke  

Dengan i=1,2,3

Contoh : sampel dengan data 75,82, 66,57, 64,56, 92,94, 86,52,60,70. Setelah disusun menjadi 52,56,57,60,64,66,70,75,82,86,92,94.

Letak K₁= data ke  = data ke 3  , yaitu antara data ke -3 dan data ke-4

Nilai K₁= data ke-3 + (data ke-4 – data ke-3)]

        K₁= 57 + (60 – 57) = 57

Letak K₃= data ke  = data ke 9  

           K₃= data ke-9 +   (data ke-10 – data ke-9)

           K₃ =82 +   (86-82) =85

Untuk data yang telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi, Kuartil dihitung dengan rumus :

Q_i = b + p ( )

Dengan i = 1,2,3

Dengan b = batas bawah kelas K_i , ialah kelas interval dimana K_i terletak

            P = panjang kelas K_i

F = jumlah frekuensi dengan tanda kelas lebih kecil dari tanda kelas K_i

F = frekuensi kelas K_i

Kembali pada hasil ujian 80 mahasiswa seperti dalam tabel di bawah ini , maka untuk menentukan kuartil ketiga ,   x 80 = 60 data . b = 80.5 ;p=10; f=20; F=48. Dengan i=3 dan n=80 maka

K₃ = 80.5 + 10( )

K₃ = 86.5

Tabel hasil ujian 80 mahasiswa

Nilai Ujian	fi
31-40 41-50 51-60 61-70 71-80 81-90 91-100	1 2 5 15 25 20 12
Jumlah	80

Ini berarti ada 75% mahasiswa yang mendapat nilai ujian paling tinggi 86.5 sedangkan 25%  lagi mendapat nilai paling rendah.

Jika kumpilan data itu dibagi menjadi 10 bagian yang sama maka didapat Sembilan pembagi dan setiap pembagi dinamakan desil. Kerananya ada sembilan buah desil, ialah desil pertama, desil kedua,…., desil kesembilan yang disingkat dengan d_1,, d₂,…,d₉ . desil-desil ini dapat ditentukan dengan jalan :

1.      Susun data menurut susunan nilainya

2.      Tentukan letak desil

3.      Tentukan nilai desil

Letak desilke-I diberi lambing d_i , ditentukan oleh rumus :

Letak d₁ = data ke

Dengan i=1,2,…,9

Contoh : untuk data yang disusun dalam contoh terdahulu, ialah : 52,56,57,60,64,66,70,75,82,86,92,94, maka letak  d₇ = data ke  = data ke-9,1

Nilai d₇ = data ke-9 + (0,1) (data ke-10 – data ke-9)

        d₇  = 82 + (0,1)(86-82) = 82,4

untuk data dalam distribusi frekuensi

d_i  = b + p ( )

dengan i=1,2,…,9

dengan b = batas bawah kelas d_i , ialah kelas interval dimana d_i akan terletak

            P = panjang kelas d_i

F = jumlah frekuensi dengan tanda kelas lebih kecil dari tanda kelas d_i

F = frekuensi kelas d_i

Jika diminta d₃ unuk 80 nilai ujian statistika, maka kita perlu 30% x 80 = 24 data. b=60.5; p=10; f=15; F=8 .dengan i=3 dan n=80, maka didapat

d₃ = 60.5 + 10( )

d₃ = 71,2

Jika sekumpulan data tersebut dibagi menjadi 100 bagian yang sama akan menghasilkan 99 pembagi yang dinamakan persentil yang dilambangkan dengan P.

 Letak Persentil P_i untuk sekumpulan data ditentukandengan rumus :

P_i = data ke

dengan i=1,2,…,99

sedangkan nilai P_i untuk data dalam daftar distribusi frekuensi dihitung dengan :

P_i  = b + p ( )

dengan i=1,2,…,99

dengan b = batas bawah kelas P_i , ialah kelas interval dimana P_i terletak

            P = panjang kelas P_i

F = jumlah frekuensi dengan tanda kelas lebih kecil dari tanda kelas P_i

f = frekuensi kelas P_i

DAFTAR PUSTAKA

Sudijono, Anas. 2009. Pengantar Statistik Pendidikan. Jakarta :PT Raja Grafindo Persada

Sudjana. 2002.Metoda Statistika.Bandung : TARSITO

Harahap, B. dan ST. Negoro.1998. Ensiklopedia Matematika. Ghalia Indonesia

Dajan, Anto.1986. Pengantar Metode Statistik Jilid I. Jakarta :LP3ES